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參考資料

13 個分類的分步驟參考資料。

代數:方程

一元一次方程

透過分離變數求解形如 ax + b = c 的方程。

  • x+1=5
  • 2x+3=7

一元二次方程

使用求根公式求解 ax^2 + bx + c = 0。

  • x^2+5x+6=0
  • x^2-2=0

代數:對數

對數求值

計算對數值,例如 log(100, 10) = 2。

  • log(100, 10)
  • log(E)

對數展開

運用積、商、冪法則展開對數表達式。

  • log(x*y)
  • log(x/y)

代數:指數

指數化簡

綜合運用指數法則:積、商、冪的乘方。

  • x^2 * x^3
  • x^5 / x^2

代數:虛數

虛數化簡

運用 i^2 = -1 化簡 i 的冪。

  • I^3
  • I^5

代數:多項式

多項式展開

分配律展開併合並同類項。

  • expand((x+1)^3)
  • expand((x-2)(x+3))

多項式因式分解

求因式,包括平方差與三項式。

  • factor(x^2-1)
  • factor(x^2+5x+6)

代數:三角

三角函數求值

計算標準角的精確值。

  • sin(pi/4)
  • cos(pi)

三角表達式化簡

運用勾股恆等式等三角恆等式。

  • sin(x)^2 + cos(x)^2
  • tan(x) * cos(x)

微積分

求導

運用冪法則、乘積法則、商法則與鏈式法則。

  • diff(x^3, x)
  • diff(x^2*sin(x), x)

積分

計算不定積分。

  • integrate(x^2, x)
  • int(cos(x), x)

極限

求某點或無窮處的極限,先嚐試直接代入驗證。

  • limit(sin(x)/x, x, 0)
  • limit(1/x, x, oo)

線性代數：矩陣與方程組

矩陣行列式

透過 ad − bc 法則或代數餘子式展開計算 2x2 與 3x3 行列式。

  • det([[1,2],[3,4]])
  • det([[2,0],[1,3]])

矩陣求逆

使用伴隨矩陣公式求方陣的逆,或判斷其是否為奇異矩陣。

  • inv([[1,2],[3,4]])
  • inv([[4,7],[2,6]])

矩陣轉置

交換矩陣的行與列。

  • transpose([[1,2],[3,4]])
  • transpose([[1,2,3],[4,5,6]])

矩陣乘法

按行乘列、逐項相乘兩個矩陣。

  • [[1,2],[3,4]] * [[5,6],[7,8]]
  • [[1,0],[0,1]] * [[2,3],[4,5]]

線性方程組

使用高斯消元法求解 2 或 3 元線性方程組,方程之間用分號隔開。

  • x + y = 3; x - y = 1
  • 2x + y = 1; x - y = 1

特徵值與特徵向量

求 2x2 與 3x3 矩陣的特徵多項式、特徵值與特徵向量。

  • eigenvalues([[2,1],[1,2]])
  • eigenvectors([[2,1],[1,2]])

微積分：微分方程

可分離變數微分方程

透過分離變數並積分求解一階可分離微分方程,導數用 y' 表示。

  • y' = x*y
  • y' = 2*y

一階線性微分方程

使用積分因子求解 y' + P(x)y = Q(x)。

  • y' + 2*y = x
  • y' + y = x

二階線性微分方程

透過特徵方程求解常係數齊次方程。

  • y'' + 3*y' + 2*y = 0
  • y'' + 2*y' + y = 0

機率與統計

描述性統計

資料集的平均數、中位數、眾數、方差與標準差。

  • stats(2, 4, 4, 5, 7)
  • mean(1, 2, 3, 4)

組合與排列

階乘、組合數 nCr 與排列數 nPr,附帶展開的階乘步驟。

  • nCr(5, 2)
  • nPr(5, 2)

二項分佈機率

計算 n 次獨立試驗、成功機率為 p 時的 P(X = k)。

  • binomial_p(10, 3, 1/2)
  • binomial_p(6, 2, 1/3)

幾何

直角三角形

使用勾股定理求斜邊或直角邊。

  • hypotenuse(3, 4)
  • leg(5, 3)

三角形面積(海倫公式)

已知三邊,用海倫公式求三角形面積。

  • triangle_area(3, 4, 5)
  • triangle_area(7, 8, 9)

圓

求圓的面積與周長,含用 π 表示的精確值與近似值。

  • circle_area(3)
  • circle_circumference(3)

座標幾何

兩點間的距離、中點與斜率。

  • distance(1, 2, 4, 6)
  • midpoint(1, 2, 3, 4)

代數：不等式

不等式

求解一次與二次不等式,以區間形式給出答案。

  • 2x + 3 < 11
  • 2x + 3 <= 11

代數：數列

數列與級數

等差數列與等比數列的通項與前 n 項和。

  • arithmetic_seq(2, 5, 10)
  • geometric_seq(3, 2, 8)