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参考资料

13 个分类的分步骤参考资料。

代数:方程

一元一次方程

通过分离变量求解形如 ax + b = c 的方程。

  • x+1=5
  • 2x+3=7

一元二次方程

使用求根公式求解 ax^2 + bx + c = 0。

  • x^2+5x+6=0
  • x^2-2=0

代数:对数

对数求值

计算对数值,例如 log(100, 10) = 2。

  • log(100, 10)
  • log(E)

对数展开

运用积、商、幂法则展开对数表达式。

  • log(x*y)
  • log(x/y)

代数:指数

指数化简

综合运用指数法则:积、商、幂的乘方。

  • x^2 * x^3
  • x^5 / x^2

代数:虚数

虚数化简

运用 i^2 = -1 化简 i 的幂。

  • I^3
  • I^5

代数:多项式

多项式展开

分配律展开并合并同类项。

  • expand((x+1)^3)
  • expand((x-2)(x+3))

多项式因式分解

求因式,包括平方差与三项式。

  • factor(x^2-1)
  • factor(x^2+5x+6)

代数:三角

三角函数求值

计算标准角的精确值。

  • sin(pi/4)
  • cos(pi)

三角表达式化简

运用勾股恒等式等三角恒等式。

  • sin(x)^2 + cos(x)^2
  • tan(x) * cos(x)

微积分

求导

运用幂法则、乘积法则、商法则与链式法则。

  • diff(x^3, x)
  • diff(x^2*sin(x), x)

积分

计算不定积分。

  • integrate(x^2, x)
  • int(cos(x), x)

极限

求某点或无穷处的极限,先尝试直接代入验证。

  • limit(sin(x)/x, x, 0)
  • limit(1/x, x, oo)

线性代数：矩阵与方程组

矩阵行列式

通过 ad − bc 法则或代数余子式展开计算 2x2 与 3x3 行列式。

  • det([[1,2],[3,4]])
  • det([[2,0],[1,3]])

矩阵求逆

使用伴随矩阵公式求方阵的逆,或判断其是否为奇异矩阵。

  • inv([[1,2],[3,4]])
  • inv([[4,7],[2,6]])

矩阵转置

交换矩阵的行与列。

  • transpose([[1,2],[3,4]])
  • transpose([[1,2,3],[4,5,6]])

矩阵乘法

按行乘列、逐项相乘两个矩阵。

  • [[1,2],[3,4]] * [[5,6],[7,8]]
  • [[1,0],[0,1]] * [[2,3],[4,5]]

线性方程组

使用高斯消元法求解 2 或 3 元线性方程组,方程之间用分号隔开。

  • x + y = 3; x - y = 1
  • 2x + y = 1; x - y = 1

特征值与特征向量

求 2x2 与 3x3 矩阵的特征多项式、特征值与特征向量。

  • eigenvalues([[2,1],[1,2]])
  • eigenvectors([[2,1],[1,2]])

微积分：微分方程

可分离变量微分方程

通过分离变量并积分求解一阶可分离微分方程,导数用 y' 表示。

  • y' = x*y
  • y' = 2*y

一阶线性微分方程

使用积分因子求解 y' + P(x)y = Q(x)。

  • y' + 2*y = x
  • y' + y = x

二阶线性微分方程

通过特征方程求解常系数齐次方程。

  • y'' + 3*y' + 2*y = 0
  • y'' + 2*y' + y = 0

概率与统计

描述性统计

数据集的平均数、中位数、众数、方差与标准差。

  • stats(2, 4, 4, 5, 7)
  • mean(1, 2, 3, 4)

组合与排列

阶乘、组合数 nCr 与排列数 nPr,附带展开的阶乘步骤。

  • nCr(5, 2)
  • nPr(5, 2)

二项分布概率

计算 n 次独立试验、成功概率为 p 时的 P(X = k)。

  • binomial_p(10, 3, 1/2)
  • binomial_p(6, 2, 1/3)

几何

直角三角形

使用勾股定理求斜边或直角边。

  • hypotenuse(3, 4)
  • leg(5, 3)

三角形面积(海伦公式)

已知三边,用海伦公式求三角形面积。

  • triangle_area(3, 4, 5)
  • triangle_area(7, 8, 9)

圆

求圆的面积与周长,含用 π 表示的精确值与近似值。

  • circle_area(3)
  • circle_circumference(3)

坐标几何

两点间的距离、中点与斜率。

  • distance(1, 2, 4, 6)
  • midpoint(1, 2, 3, 4)

代数：不等式

不等式

求解一次与二次不等式,以区间形式给出答案。

  • 2x + 3 < 11
  • 2x + 3 <= 11

代数：数列

数列与级数

等差数列与等比数列的通项与前 n 项和。

  • arithmetic_seq(2, 5, 10)
  • geometric_seq(3, 2, 8)